Hurwitz-kriterium. Stabilitetskriterier för Wald, Hurwitz, Savage

2024 Författare: Henry Conors | [email protected]. Senast ändrad: 2024-02-12 13:06

Artikeln diskuterar sådana begrepp som kriterierna för Hurwitz, Savage och Wald. Tyngdpunkten ligger främst på det första. Hurwitz-kriteriet beskrivs i detalj både ur en algebraisk synvinkel och ur beslutsfattande under osäkerhet.

Det är värt att börja med en definition av hållbarhet. Det kännetecknar systemets förmåga att återgå till jämviktstillståndet efter slutet av störningen, vilket bröt mot den tidigare bildade jämvikten.

Det är viktigt att notera att dess motståndare - ett instabilt system - hela tiden rör sig bort från sitt jämviktstillstånd (oscillerar runt det) med en återkommande amplitud.

Hållbarhetskriterier: definition, typer

Detta är en uppsättning regler som låter dig bedöma de befintliga tecknen på rötterna till den karakteristiska ekvationen utan att leta efter dess lösning. Och det senare ger i sin tur en möjlighet att bedöma stabiliteten i ett visst system.

Som regel är de:

• algebraisk (att rita upp algebraiska uttryck enligt en specifik karakteristisk ekvation med hjälp av speciellaregler som kännetecknar stabiliteten hos ACS);
• frekvens (studieobjekt - frekvensegenskaper).

Hurwitz stabilitetskriterium ur en algebraisk synvinkel

Det är ett algebraiskt kriterium, vilket innebär att man beaktar en viss karakteristisk ekvation i form av en standardform:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

Med hjälp av dess koefficienter bildas Hurwitz-matrisen.

Regeln för att sammanställa Hurwitz-matrisen

I riktning från topp till botten skrivs alla koefficienter för motsvarande karakteristiska ekvation ut i ordning, med början från aᵥ₋₁ till a0. I alla kolumner ner från huvuddiagonalen anger koefficienterna för ökande krafter för operatorn p, sedan uppåt - minskande. Saknade element ersätts med nollor.

Det är allmänt accepterat att systemet är stabilt när alla tillgängliga diagonala minorer i den övervägda matrisen är positiva. Om huvuddeterminanten är lika med noll kan vi prata om att den ligger på stabilitetsgränsen och aᵥ=0. Om de övriga villkoren är uppfyllda, är det aktuella systemet beläget på gränsen till en ny aperiodisk stabilitet (näst sista minor likställs med noll). Med ett positivt värde för de återstående minderåriga - på gränsen till redan oscillerande stabilitet.

Beslutsfattande i en situation av osäkerhet: kriterier från Wald, Hurwitz, Savage

De är kriterierna för att välja den mest lämpliga varianten av strategin. Savage (Hurwitz, Wald) kriteriet används i situationer där det finns osäkra a priori sannolikheter för naturtillstånden. Deras grund är analysen av riskmatrisen eller betalningsmatrisen. Om sannolikhetsfördelningen för framtida tillstånd är okänd reduceras all tillgänglig information till en lista över möjliga alternativ.

Så, det är värt att börja med Walds maximin-kriterium. Det fungerar som ett kriterium för extrem pessimism (försiktig iakttagare). Detta kriterium kan utformas för både rena och blandade strategier.

Den fick sitt namn på grundval av statistikerns antagande att naturen kan realisera tillstånd där mängden vinst likställs med det minsta värdet.

Detta kriterium är identiskt med det pessimistiska, som används för att lösa matrisspel, oftast i rena strategier. Så först måste du välja minimivärdet för elementet från varje rad. Därefter väljs beslutsfattarens strategi, vilket motsvarar maxelementet bland de redan valda minimum.

Alternativen som väljs av kriteriet under övervägande är riskfria, eftersom beslutsfattaren inte står inför ett sämre resultat än det som fungerar som en riktlinje.

Så, enligt Wald-kriteriet, anses den rena strategin vara den mest acceptabla, eftersom den garanterar maximal vinst under de sämsta förhållandena.

Tänk sedan på Savages kriterium. Här, när man väljer en av de tillgängliga lösningarna, stannar de i praktiken som regel vid den som kommer att leda till minimala konsekvenser i händelse av attom valet ändå visar sig vara fel.

I enlighet med denna princip kännetecknas varje beslut av en viss mängd ytterligare förluster som uppstår under genomförandet, jämfört med det korrekta i det befintliga naturtillståndet. Uppenbarligen kan den korrekta lösningen inte medföra ytterligare förluster, varför deras värde likställs med noll. Därför är den mest ändamålsenliga strategin den där mängden förluster är minimal under de värsta omständigheterna.

Kriterium för pessimism-optimism

Detta är ett annat namn för Hurwitz-kriteriet. I processen att välja en lösning, i samband med att bedöma den nuvarande situationen, istället för två ytterligheter, håller de sig till den så kallade mellanpositionen, som tar hänsyn till sannolikheten för både gynnsamt och sämst beteende i naturen.

Denna kompromiss föreslogs av Hurwitz. Enligt honom måste du för alla lösningar ställa in en linjär kombination av min och max och sedan välja en strategi som motsvarar deras största värde.

När är kriteriet i fråga motiverat?

Det är tillrådligt att använda Hurwitz-kriteriet i en situation som kännetecknas av följande egenskaper:

1. Det finns ett behov av att ta hänsyn till värsta fall.
2. Brist på kunskap om sannolikheterna för naturtillstånden.
3. Låt oss ta lite risker.
4. Ett ganska litet antal lösningar implementeras.

Slutsats

Slutligen skulle det vara bra att komma ihåg att artikelnHurwitz, Savage och Wald kriterier. Hurwitz-kriteriet beskrivs i detalj ur olika synvinklar.